Scene.hu

Tehát a film, melynek címe egyébként Gestalt:

Illetve a 4k intró:

A fraktálok gondolom sok olvasónknak nem jelentenek újdonságot, azért most összekötve a kellemest (film) a hasznossal (tudás magunkba szippantása), röviden összefoglalnám mégis akkor, hogy miről is van szó.

Először is a terminológiáról. A fraktál szó (mely Benoît Mandelbrot nyelvújító tevékenységének köszönhetően létezik, 1975 óta) alatt tágabb értelemben önhasonló halmazokat szoktak érteni, amibe nagyon egyszerű (mint pl. a Koch görbe) és nagyon bonyolult (mint pl. a Mandelbrot halmaz) objektumok is beleférnek. Mi ma az utóbbival, illetve rokonaival és üzletfeleivel szeretnénk foglalkozni, úgyhogy állapodjunk meg abban, hogy a fraktál szó mostantól ezt jelenti :).

Továbbá, a félreértések elkerülése végett, a Mandelbrot halmaz az az, ami a képeken jellemzően egyszínű fekete, és nem a színes csíkok körülötte (egy halmaznak nincsenek különböző színei, ugyebár). Később elmagyarázom, hogy hogyan csinalják a színeket mégis.

Ezek a fajta fraktálok, amikről ma szó esik, komplex számokkal, sőt, néha egyenesen kvaterniókkal (ami hasonló, csak bonyolultabb) működnek. A komplex számok nagyon fontosak (sőt, kikerülhetetlenek) a matematikában és a fizikában, úgyhogy kénytelenek leszünk megbarátkozni velük :). Fontosságuk oka a következő: szeretjük az olyan szám-jellegű dolgokból álló rendszereket, amikben lehet összeadni, kivonni, szorozni és osztani (utóbbi esetben persze a nullával nem); na és ezek között egy “legnagyobb” ilyen rendszer (abban az értelemben, hogy nem lehet tovább bővíteni; a szakkifejezés az algebrailag zárt) a komplex számok, mégpedig pont az a legnagyobb, amiben a jól megszokott egész meg valós számok benne csücsülnek részként. További előnyük, hogy (elvileg) minden polinom-egyenletet meg lehet bennük oldani (míg ugye valós számok között például az x² = -1 egyenletnek nincs megoldása).

No, ennyi motiváció után jöjjön a konstrukció, mely alapvetően igen egyszerű: bevezetünk egy i-vel jelölt új számot, ami teljesíti a fenti egyenletet, tehát i² = -1; és az derül ki, hogy ez már elég is: az összes komplex számot z = a+bi írjuk fel, ahol a (a valós rész) és b (a képzetes-, vagy imaginárius rész) jól megszokott valós számok (z pedig tradicionálisan jó betű komplex számok jelölésére :). Tehát ezek lényegében számpárok, vagy két dimenziós vektorok, csak ilyen furcsán jelöljük. Lássuk akkor hogyan kell ezekkel számolni: ez nagyon egyszerű, csak az i² = -1 szabályra kell emlékezni. Ha pl. w = c+di, akkor

Összeadni tehát úgy adunk össze, mint vektorokat, a szorzásnál pedig az i² = -1 alapszabályt használtuk a kifejtésnél. Az osztás kicsit trükkösebb, amit házi feladatnak hagyok az elszánt érdeklődőknek. Vagy el lehet olvasni a wikipédián (most látom hogy akár copypaste-elhettem is volna a képleteket, betűre ugyanazt sikerült beírnom, mint ami a linkelt szócikkben szerepel… :). A komplex számokat síkba szokták lerajzolni (a komplex számsík tehát a klasszikus számegyenes analógja itt), mégpedig úgy, hogy a valós részt az x tengelyre, a képzetes részt pedig az y tengelyre mérik fel.

Egy Julia halmaz

Innen már csak egy ugrás a Julia halmazok definíciója (vigyázat, ez a Julia nemhogy nem a Rómeóé, de még csak nem is nő; vezetéknév ugyanis, Gaston Julia matematikusé). Ez egy elég általános és (meglepő módon) hasznos fogalom, de mi most csak bizonyos speciális Julia halmazokra fogunk koncentrálni (azokra, amiket a szélesebb közönség annak hív); ezek demókban is nagyon népszerűek voltak, főleg a 90-es évek első felében.

A bemenet itt egy komplex szám, amit p-vel fogok jelölni mint paraméter, a kimenet pedig komplex számok egy halmaza, aminek a pontjait ha besatírozzuk, akkor kapjuk az ábrát ugye. Egy w komplex számról úgy döntjük el, hogy benne van-e a halmazban, hogy képezzük a következő számsorozatot:

és megnézzük hogy ez a sorozat korlátos-e (benne marad-e egy a nulla köré rajzolt nagy körben). Ha benne marad, akkor része a halmazunknak, ha nem, akkor nem (itt kicsit csaltam, hivatalosan a Julia halmaz igazából ennek a határa – értsd: “széle”, de ennyi itt még belefér :). Okos matematikusok bebizonyították, hogy ezt a nagy kört vehetjük kettő sugarúnak, és akkor már sokkal egyszerűbb leprogramozni. Természetesen a gyakorlatban még ezt sem lehet ellenőrizni (azt nem lehet eldönteni véges időn belül, hogy egy pont benne van a halmazban, csak azt hogy nincs benne), ezért csak az első néhány, mondjuk 100 vagy 1000 lépést számoljuk ki. Színeket pedig úgy szokás csinálni, hogy azokra a z pontokra, amik elhagyják ezt a kört, megnézzük hogy hányadik lépésben hagyták el, és ennek megfelelően színezünk (esetleg lehet azzal is kísérletezni, hogy a síkon hová került az első a körön kívüli pont; így csíkok helyett átmeneteket állíthatunk elő).

A Mandelbrot halmaz

A másik nagyon populáris fraktál a Mandelbrot halmaz, mely az előzővel intim viszonyban van (mondhatnánk, hogy a Mandelbrot a Julia Rómeója, muhaha :). A definíció igen hasonló, azonban most nincs paraméter, hanem p helyére is w-t írunk, ennyi csak az eltérés a fentiekhez. Ez valahogy “egyszerre látja” az összes paramétert (és valóban, egy alternatív definíció, hogy azokat a w-ket vesszük, melyekre a p = w paraméterhez tartozó Julia halmaz összefüggő).

Na és akkor a kvaterniókról még gyorsan: ezeket hasonlóan kapjuk, mint a komplex számokat, de nem csak i van, hanem j és k is, és ezek a következő szabályokat teljesítik: i² = j² = k² = ijk = -1, ij = k, stb… Egy kvaternió tehát így néz ki: a+bi+cj+dk, ahol a, b, c és d valós számok (a számegyenes megfelelője tehát itt már 4 dimenziós!). Szemfülesebb olvasóink észrevehették, hogy bár korábban azt állítottam, hogy a komplex számok egy tovább nem bővíthető rendszert alkotnak, most meg látszólag mégis mondtam egy még bővebbet. Az ellentmondás feloldása ott van, hogy a kvaternióknál már nem mindegy, hogy milyen sorrendben szorzunk (vagy osztunk): a klasszikus xy = yx szabály itt nem érvényes! Tehát menet közben megváltoztattuk a játékszabályokat.

A kvaternió Julia halmazok – amik közül néhányat tehát a fenti két produkcióban tekinthetünk meg – pedig nagyon egyszerűen Julia halmazok, csak kvaterniókkal számolunk komplex számok helyett. Ezek tehát 4 dimenziósak, amiből jellemzően kivágnak egy 3 dimenziós szeletet, amit aztán levetítenek a 2 dimenziós képernyőre. Én pedig egy 1 dimenziós mesét írtam róla, aminek itt a vége, fuss el véle, csak még gyorsan iderakok egy Paul Burke linket azok számára, akik több részletre vágynak; ő úgyis nagyon népszerű a kockafejű kóderek között (számomra némileg értehetlen módon :).